¿Para qué sirven los axiomas en un sistema formal?

¿Para qué sirven los axiomas en un sistema formal? ¿Para qué sirven los axiomas en general?

El propósito de este pequeño artículo es el de denotar la importancia que tienen los axiomas para, ciertamente las matemáticas, pero también para toda actividad en general humana que pretenda ser ordenada colectivamente. En un mundo ideal tendríamos axiomas para todas nuestras prácticas colectivas. Comúnmente se piensa que los axiomas son verdades evidentes que no necesitan ser demostradas y que son tomados por todos los individuos como tales, como verdades evidentes, sin realizar mayores preguntas. Esto en parte es cierto en parte no. En realidad, los axiomas sólo son principios formales [1] que permiten ordenar los pensamientos de varias personas. Funcionan como modelos conforme a los cuales adecuamos nuestros procesos de razonamiento. Su utilidad radica en servir de guías para imitar, validar e invalidar pensamientos de acuerdo con ellos. No es cierto que no se demuestren porque se consideren verdades evidentes por sí mismas, sino que, no se demuestran, pero por la función que cumplen para un sistema formal y para el pensamiento en general. La función que cumplen es la de ser principios guía y dado que la verdad no es una condición necesaria para que algo sea un principio guía, los axiomas entonces para ser axiomas no necesariamente deben ser verdaderos—más adelante mostraremos esto. Lo que sí deben ser los axiomas para que puedan guiar el pensamiento de muchas personas es: deben ser simples, generales y consistentes— esto último sobre todo si se toman varios axiomas como elementos de un mismo conjunto. En suma, no importa tanto que un axioma sea verdadero o falso, mientras sea general, simple y consistente cumplirá la función de servir como modelo asequible y entendible para que uno pueda acomodar su razonamiento conforme a él.

Por ejemplo, pensemos en el refrán: “Más vale malo por conocido que bueno por conocer”. En lo fundamental este refrán nos dice que: cuando tengamos la opción entre elegir algo conocido y algo desconocido, mejor siempre hay que elegir lo conocido. Por supuesto la verdad de este refrán es discutible. Realmente no es seguro que sea siempre mejor opción quedarnos con lo conocido en lugar de arriesgarnos a conocer algo nuevo que puede ser mejor o peor que lo conocido[2]. Pero la verdad o falsedad del refrán no es importante en tanto que refrán. El que sea consistente consigo mismo y el que sea tan general y simple que pueda aplicarse a una infinidad de casos, eso es lo que lo hace funcionar como refrán. Los axiomas funcionan de manera muy similar sino es que igual. El axioma, igual que un refrán, sea falso o verdadero, sea verdadero en algunos casos y falso en otros, unifica conductas con respecto a situaciones específicas. Nos brinda además una justificación de por qué hicimos lo que hicimos o por qué expresamos lo que expresamos; por ejemplo: si alguien como, pensemos en Juan, se enfrenta a una situación en donde tenga que elegir entre algo desconocido y algo conocido y elija lo conocido, y le preguntamos por qué lo hizo, sólo tendrá que explicar que lo hizo porque siguió al refrán en cuestión como su principio guía. En suma, es posible tomar este refrán como un axioma orientado a modelar una conducta supuestamente conveniente ante situaciones específicas; en este caso, situaciones que impliquen el dilema expuesto.

No sólo se puede tomar al refrán como un tipo de axioma en virtud de su capacidad para guiar la acción, se le puede tomar como axioma porque presenta las mismas características que un axioma, es decir, contiene palabras que denotan variables para ser llenadas con valores específicos por cada persona que decida seguirlo. Cuando en el refrán se expresa “Más vale malo por conocido…” “…que bueno por conocer” encontramos de manera implícita la presencia de algunas variables. Podemos hacerlas explícitas de la siguiente manera: Para toda (variable x) y para toda (variable z), si (la variable x) pertenece al conjunto de las X—el conjunto de todas las cosas conocidas—y (la variable z) pertenece al conjunto de las Z—el conjunto de todas las cosas desconocidas que puede definirse como el conjunto de las cosas que no pertenecen a X[3] —entonces elegir (x). El hecho de que el refrán contenga variables permite que el mismo no represente una situación concreta ni una cosa concreta,sino a todo un género de situaciones o cosas, el de las situaciones o cosas conocidas. Como podemos suponer que todos pueden hacer esta distinción entre cosas conocidas y desconocidas, y que todos viven situaciones o experimentan cosas conocidas y desconocidas, pero que al mismo tiempo lo que vive y experimenta cada quien no es necesariamente lo mismo que vive o experimenta alguien más, entonces las variables del refrán pueden representar la experiencia concreta de todos al no referir a ninguna en específico.

Que los axiomas no tengan que ser necesariamente verdaderos hace toda la importancia para comprender los proyectos filosóficos de fundamentar las matemáticas de finales del siglo XIX y principios del siglo XX: mientras que en las visiones anteriores—las platónicas[4] —se buscaba la verdad, en las visiones de los últimos siglos se busca la unicidad de todas las matemáticas, esto es, encontrar los axiomas más fundamentales de tal forma que con los mismos, todas las proposiciones de la matemática puedan ser demostradas en términos puramente lógicos y no en términos de ser verdaderas o falsas[5].

Aunque los axiomas son entidades mucho más abstractas y complejas de lo que reflexionamos aquí, creo que es suficiente lo expuesto para mostrar que el axioma, es, antes que una verdad de cualquier tipo, un principio guía que sirve tanto para unificar conductas y pensamientos, como para validar igualmente a estos últimos.

Notas
● [1] Por formales querremos decir, expresiones que contienen uno o más símbolos que representan variables que pueden adquirir sus valores de conjuntos dominio específicos. Un ejemplo de una expresión formal es: ”Si ( ___ ó ___ ) entones ___”, en donde los espacios denotan variables que pueden ser llenadas con distintos valores; por ejemplo: “ Si tomo el metro o el camión, entonces llego a tiempo a la escuela”. La afirmación contenida en esta expresión es la de: “Ya sea que tome el metro o el camión, pero con que tome alguno de los dos, llegó a tiempo a la escuela”.
● [2] De hecho, en lo personal, considero que siempre es mejor, ante un dilema así, elegir lo desconocido.
● [3] Por supuesto tenemos que suponer que con las variables estamos representado individuos y no conjuntos o funciones, de lo contrario, la cosa se complica y habría que revisar si se mantiene la consistencia
● [4] Gödel, K. Russell's Mathematical Logic. En Benacerraf & Putnam 1983. Pp. 447–469.
● [5] Hilbert, D. Fundamentos de las matemáticas. UNAM. México, 2011.

Referencias
● Benacerraf, P. y Putnam, H. (Eds.). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge University Press. Cambridge, 1983.
● Gödel, K. Russell's Mathematical Logic. En Benacerraf & Putnam 1983. Pp. 447–469.
● Hilbert, D. Fundamentos de las matemáticas. UNAM. México, 2011