Una aproximación a los axiomas de Zermelo-Fraenkel y su aplicación a una encuesta presidencial: México, elecciones 2018.

Una aproximación a los axiomas de Zermelo-Fraenkel y su aplicación a una encuesta presidencial: México, elecciones 2018.

Fabián Ascencio G.

Estudiante de Filosofía

UCSJ

Agradezco al Dr. Arturo Ramos Argott por apoyarme en el desarrollo de este artículo.

Introducción

El presente artículo tiene como propósito mostrar que los axiomas matemáticos no deben ser pensados únicamente como entidades abstractas; sino que tienen utilidad al momento de representar situaciones concretas en la realidad observable. Para lograrlo, aplicaremos los axiomas Zermelo-Fraenkel[1] a una encuesta de las elecciones presidenciales mexicanas del presente año. Para este trabajo se ocupó la encuesta realizada por el grupo Moreno & Sotnikova Social Reserch and Consulting y el periódico El Financiero[2] de entre otras encuestas[3] que se ubican en la página oficial del Instituto Nacional Electoral.[4] La encuesta abarca del 9 al 14 de marzo y fue aplicada en las 32 entidades federativas a jóvenes de entre 18 y 36 años. El Financiero afirma que:

Se empleó un muestreo probabilístico polietápico y se seleccionaron 85 secciones electorales como puntos de levantamiento; la tasa de rechazo a las entrevistas fue de 54%. Con un nivel de confianza de 95%, el margen de error de la encuesta es de +/- 4.7%. Los resultados reflejan las preferencias electorales y las opiniones de los encuestados al momento de realizar el estudio y son válidos para esa población y fechas específicas. Se entrega copia del estudio y sus características metodológicas al Instituto Nacional Electoral.[5]

 

1.Teoría de Conjuntos[6]

Georg Cantor (1845-1918) es uno de los principales exponentes de la teoría de conjuntos. Los conjuntos son grupos de objetos o elementos determinados, pueden definirse de la siguiente manera: “[…] un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos.”[7] Para complementar lo anterior dígase que: “La capacidad de considerar cualquier colección de objetos como una entidad única (es decir, como un conjunto), es al preguntarnos qué puede y qué no determinar una colección.”[8] Utilizando la notación de teoría de conjuntos, los partidos y sus alianzas pueden representarse de la siguiente manera:

PAN[9] = {22% de los votantes}

PRD = {5% de los votantes}

MN = {4% de los votantes}

ANAYA = {{PAN}, {PRD}, {MN}}

 

  1. Subconjuntos Propios

Aunque el trabajo está constituido por subconjuntos propios, antes es necesario definir qué es un subconjunto; Lipschutz lo define de la siguiente manera: “Se dice que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es también de B. Este rasgo se expresa como A ⊆ B.  Otra manera de denotarlo es diciendo que A es subconjunto de B si se cumple que a ∈ A →  a ∈ B.”[10]

 Ahora bien, en el siguiente ejemplo[11] vemos que el conjunto PRD[12] tiene  elementos (es decir, el 5% de los votantes), así como el PAN tiene los suyos (22% de los votantes) y MN lo mismo respectivamente (4% de los votantes). Estos conjuntos PAN, PRD Y MN son subconjuntos propios de otro conjunto, a saber, el conjunto ANAYA. Se dice que el conjunto PAN es subconjunto propio del conjunto ANAYA si todo elemento de PAN es también elemento de ANAYA y además existe un elemento de ANAYA que no es elemento de PAN. Esto se denota como: PAN ⊂ ANAYA y PAN ≠ ANAYA. Una propiedad de los conjuntos es que para cualquier conjunto PAN, éste es subconjunto de sí mismo. O, lo que es lo mismo, PAN ⊆ PAN[13]

 

  1. Diagramas de Venn[14]

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn. Los diagramas están determinados por sus límites y su función es ordenar los elementos de los conjuntos (normalmente a través de círculos).[15] (véase la figura 1.)

 

Fig 1.[16]

Diagrama de Venn el cual muestra los resultados de cada candidato ordenado por conjuntos que son los partidos políticos que representa cada candidato.

 

  1. Zermelo-Fraenkel[17]

Los siguientes axiomas fueron formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, para dotar de una base consistente y no contradictoria, a la teoría de conjuntos (haciendo que sea el modelo fundamental de teoría de conjuntos). Además, otra de sus virtudes consta de evitar específicamente la paradoja de Russell. Algunos axiomas nos permiten representar y organizar la relación entre los conjuntos partidistas de una manera esquematizada y lógica como se observa a continuación[18]:

4.1 Axioma de extensionalidad.

∀a ( ( a ∈ X ↔ a ∈ Y ) → X = Y ).

Este axioma establece que, si todos los mismos elementos pertenecen al conjunto X y al conjunto Y entonces X y Y son iguales, su notación es:

∀a ( a ∈ PT ↔ a ∈ NA ) →PT = NA

En este caso el axioma de extensionalidad se cumple para los conjuntos PT y NA, puesto que ambos son conjuntos vacíos, es decir, es contraintuitivo, pero tienen los mismos elementos, a saber, 0% de los votantes.

4.2 Axioma del conjunto vacío.

∃Ø ∀a ( a ∉ Ø ).

Dado que los conjuntos PT y NA no tienen elementos, se definen como conjuntos vacíos y la notación sería: ∀a ( a ∉ PT ↔ PT = { Ø }) ^  ∀a ( a ∉ NA ↔ NA ={ Ø })

4.3 Axioma del conjunto potencia.

∀x ∃y ∀z ( z ∈ y ↔ ∀a ( a ∈ z → a ∈ x )).

El conjunto potencia P(x) de cualquier conjunto(x) expresa la colección de todos los subconjuntos posibles del conjunto(x), por lo que, para poner un ejemplo, el P(ANAYA) podría definirse de la siguiente manera:

P ( ANAYA ) = ∀x { x ⊆ ANAYA }

Una estrategia posible de Anaya sería:  para el conjunto ANAYA existe un conjunto Potencia ANAYA tal que estaría formado por todos los subconjuntos posibles que podrían definirse como perteneciendo al conjunto ANAYA, por lo que, si al conjunto ANAYA se le agregaran los conjuntos del PRI, PV o  NA, tales nuevos conjuntos podrían esquematizarse dentro del conjunto potencia.

  1. Conclusión

En conclusión, la filosofía de las matemáticas, en su mayoría, se expresa por medio de axiomas, y estos axiomas no se limitan a un ámbito meramente abstracto, sino que pueden ser utilizados para representar, entre muchas otras cosas, eventos o situaciones de la realidad observable tal como lo hicimos en este artículo.

                                                                                             

Bibliografía.

Libros

1.- Dávila Cervantes, Claudio Alberto & Pardo Montaño, Ana Melisa, Teoría de Conjuntos: Conceptos, Operaciones y Propiedades, FLACSO, México, 2016.

2.- Lipschutz, Seymour, Teoría de Conjuntos y Temas Afines, McGraw-Hill, México, 1991.

3.- Cryan Dan & Shatil Sharron & Mayblin Bill, Lógica para todos, Paidós, España, 2005.

4.Devlin, Keith, The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, Springer-Verlag, Estados Unidos Americanos, 1993.

 

Páginas de Internet

1.-http://repositoriodocumental.ine.mx/xmlui/bitstream/handle/123456789/95741/1-Estudio-FinancieroNaci%C3%B3n321-9-14marzo.PDF?sequence=1&isAllowed=y

 

2.-(S/N) Instituto Nacional Electoral: Encuestas Electorales, Estudios Entregados a la Secretaría Ejecutiva. https://www.ine.mx/voto-y-elecciones/encuestas-electorales/elecciones-federales-ordinarias-2017-2018-estudios-entregados/

 

3.- Carrasco, Antonieta, Encuesta: Millenials lo tienen claro, 51% votaría por Amlo para presidente. México, 4/abril/2018 http://repositoriodocumental.ine.mx/xmlui/bitstream/handle/123456789/95741/2-Estudio-FinancieroNaci%C3%B3n321-9-14marzo-resultados.pdf?sequence=2&isAllowed=y &

http://www.nacion321.com/voto-millennial/los-jovenes-aprueban-a-pena-nieto-este-emoji-lo-dice-todo

 

Notas

[1]Zermelo-Fraenkel Desde ahora ZF.

[2] Para consultar el objeto de estudio, el marco muestral, el diseño muestral, el método y fecha de recolección de la información, el cuestionario o instrumentos de captación utilizados para generar la información publicada, la forma de procesamiento, los estimadores e intervalos de confianza, la denominación del software utilizado para el procesamiento, la base de datos en formato electrónico, y los principales resultados, pudiendo especificar la preferencia de votación bruta y la efectiva, favor de revisar: http://repositoriodocumental.ine.mx/xmlui/bitstream/handle/123456789/95741/1-Estudio-FinancieroNaci%C3%B3n321-9-14marzo.PDF?sequence=1&isAllowed=y

[3] Elegimos la encuesta realizada por el Moreno & Sotnikova Social Reserch and Consulting y el periódico El Financiero, ya que son las más actualizadas entre las evaluadas, pues abarcan el periodo del 9 al 14 de marzo del 2018. Las encuestas revisadas que compitieron con las encuestas elegidas son las siguientes: Age marketing, Arias, Berumen, Buendía & Laredo, Diario Basta!, Cabildo, Capital, Consulta Mitofsky, El Debate, Delphos, Columnista Luis Alberto Medina, El Universal Compañía Periodística Nacional S.A de C.V., Ernesto Ceballos Celexis, Conteo, Bufete de Proyectos, Información y Análisis, S.A. de C.V., GEA-ISA, Consultoría Empresarial Universal S.A. de C.V., Hora Cero Encuestas, IPSOS, La Jornada de Oriente, MASDATA, Mendoza Blanco & Asociados, Mercaei, Parametría S.A. de C.V., Parámetro, Pauta, Correo, Polymetrix, POP GROUP, Consorcio Interamericano de Comunicación S.A. de C.V. , Derechos Digitales S.A. de C.V., SPIN-DEFOE, Suasor Consultores S.A. de C.V., Varela Maldonado y Asociados S.A. de C.V., VOTIA. Estas encuestas se encuentran en el portal oficial del INE, si se quiere consultar visite: https://www.ine.mx/voto-y-elecciones/encuestas-electorales/elecciones-federales-ordinarias-2017-2018-estudios-entregados/

[4] El Instituto Electoral Federal –desde ahora INE- advierte lo siguiente en su página oficial: En ningún caso el Instituto Nacional Electoral avala la calidad de las encuestas presentadas en esta página, la validez de sus resultados, o cualquier otra conclusión que se derive de los estudios entregados al INE. Por lo que hay que tomar a la encuesta solo como el objeto de trabajo de este artículo.

[5]http://repositoriodocumental.ine.mx/xmlui/bitstream/handle/123456789/95741/2-Estudio-FinancieroNaci%C3%B3n321-9-14marzo-resultados.pdf?sequence=2&isAllowed=y & http://www.nacion321.com/voto-millennial/los-jovenes-aprueban-a-pena-nieto-este-emoji-lo-dice-todo

[6] Recomiendo que el lector revise la Ley de Leibniz para entender a detalle los principios de identidad que son utilizados en teoría de conjuntos. Consúltese: Cfr. Dávila Cervantes, Claudio Alberto & Pardo Montaño, Ana Melisa, Teoría de Conjuntos: Conceptos, Operaciones y Propiedades, FLACSO, México, 2016. p. 7.  Donde se expone la igualdad y pertenencia. Asimismo: Cfr. Cryan Dan & Shatil Sharron & Mayblin Bill, Lógica para todos, Paidós, España, 2005. pp. 10-11 y p.23 donde se explica más detalladamente y se relaciona con la teoría de conjuntos y la paradoja de Russell. Para algo muy detallado con ejemplos, véase el capítulo de nombre Igualdad de conjuntos, en: Cfr. Lipschutz, Seymour, Teoría de Conjuntos y Temas Afines, McGraw-Hill, México, 1991. p.1.

[7] Lipschutz, Seymour, Teoría de Conjuntos y Temas Afines, McGraw-Hill, México, 1991; p.1.

[8] Texto original: The ability to regard any collection of objects as a single entity (i.e. as a set). It is by asking ourselves what may and what may not determine 'a collection'. Devlin, Keith, The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, Springer-Verlag, EE. UU, 1993. p.2.

[9]Aunque los conjuntos se denotan con una sola letra mayúscula, para efectos de la claridad del trabajo he decidido utilizar las siglas de los partidos.

[10]Ibid, p.3.

[11] Para este ejemplo y el anterior, fue usado el conjunto ANAYA porque sus tres conjuntos (PRD, PAN, MN) contienen elementos, a diferencia de los partidos PT y NA que son conjuntos vacíos. Lo anterior es mencionado para que el lector no haga una malinterpretación y suponga que se simpatiza con algún partido en específico. El trabajo muestra una posición neutral respecto a las preferencias políticas del autor.

[12] Para el conjunto Ricardo Anaya Cortés nos referiremos como ANAYA, para el conjunto Andrés Manuel López Obrador usaremos AMLO, asimismo, para el conjunto José Antonio Meade Kuribreña utilizaremos MEADE, para el conjunto Jaime Heliodoro Rodríguez Calderón usaremos BRONCO y para el conjunto Margarita Ester Zavala Gómez del Campo usaremos ZAVALA. De esta misma manera, los partidos políticos serán abreviados con sus siglas correspondientes.

[13] El ejemplo es sólo una sustitución, para el original: Cfr. Dávila Cervantes, Claudio Alberto & Pardo Montaño, Ana Melisa, Teoría de Conjuntos: Conceptos, Operaciones y Propiedades, FLACSO, México, 2016. p.11.

[14] Por falta de espacio y por priorizar los axiomas ZF (expuestos en el último apartado) no hemos podido desarrollar por medio de diagramas de Venn las Leyes de Morgan, ni operaciones con conjuntos como lo son la unión, intersección, complementación, etc.

[15] Cfr. Lipschutz, Seymour, Teoría de Conjuntos y Temas Afines, McGraw-Hill, México, 1991. p.5.

[16] No fueron considerados el 39% de los indecisos. Este diagrama fue hecho a partir de la segunda pregunta de la encuesta; ésta dice así: Si hoy hubiera elecciones para Presidente de la República, ¿por qué partido votarías?

[17] Con motivos didácticos, expositivos y para ejemplificar la tesis de este artículo -que es la de mostrar la aplicabilidad de las matemáticas en situaciones del mundo- se utilizaron sólo algunos de los axiomas. Consideramos que no era necesario realizar una revisión exhaustiva de la aplicabilidad de todos los axiomas para este caso concreto. Hay conjuntos donde sus eleméntenos son conjuntos, funciones o fórmulas. En este trabajo no entran las dos últimas ya que se maneja con porcentaje de votantes, por lo que el axioma de reemplazo no se podría utilizar para representar la información.

 

 

 

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